Должен ли ФГУП отвечать на письменные обращения граждан?

Нет, не обязаны отвечать на обращения. Статья 2. ФЗ № 59-ФЗ Право граждан на обращение 1. Граждане имеют право обращаться лично, а также направлять индивидуальные и коллективные обращения, включая обращения объединений граждан, в том числе юридических лиц, в государственные органы, органы местного самоуправления и их должностным лицам, в государственные и муниципальные учреждения и иные организации, на которые возложено осуществление публично значимых функций, и их должностным лицам. 2. Граждане реализуют право на обращение свободно и добровольно. Осуществление гражданами права на обращение не должно нарушать права и свободы других лиц. 3. Рассмотрение обращений граждан осуществляется бесплатно.